a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

nên AB=AC

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc với BC

Xét tứ giác OBAC có

góc OBA+góc OCA=180 độ

nên OBAC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔABE và ΔADB có

góc ABE=góc ADB

góc BAE chung

Do đó: ΔABE đồng dạng với ΔADB

=>AB/AD=AE/AB

=>AB^2=AD*AE=AH*AO

Uây tui làm từng câu một hén

a, (O1) có: EF là tiếp tuyến \(\Rightarrow O_1E\perp EF\)(tính chất tiếp tuyến)

(O2) có: EF là tiếp tuyến \(\Rightarrow O_2F\perp EF\)

(tính chất tiếp tuyến)

mà EF // CD (gt)

Từ 3 điều trên \(\Rightarrow O_1E\perp CD=\left\{M\right\},O_2F\perp CD=\left\{N\right\}\)

\(\Delta EAC\) có: \(EA=EC\)= bán kính (O1) \(\Rightarrow\Delta EAC\) cân tại C có EM là đường cao \(\Rightarrow CM=MA\)

Chứng minh tương tự với \(\Delta AED\) ta có: AN = ND

Tứ giác EFNM có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật \(\Rightarrow EF=MN=MA+AN=\frac{CA+CD}{2}=\frac{CD}{2}\)

\(\Delta ICD\) có: EF // CD, EF = \(\frac{CD}{2}\) \(\Rightarrow\)EF là đường trung bình

\(\Rightarrow IE=EC,IF=FD\)

\(\Delta ICA\) có: CM = MA, IE = EC nên EM là đường trung bình \(\Rightarrow\) EM // IA mà \(EM\perp CD\left(cmt\right)\Rightarrow IA\perp CD\)

P/S: Thề ít khi gặp câu a nào dài như nì

Nguyễn Việt LâmOtasaka YuTrần Thị Hà MyThiên ThảoGuyoVũ Thị NgọcPhạm Thái DươngLưu Thùy DungNguyễn Văn ToànSky SơnTùngNguyễn Thành TrươngNguyensvtkvtmLê Anh DuyCherru NgPhùng Tuệ MinhNguyễn Thị Thảo VyMysterious PersonNguyễn Ngô Minh TríNguyễn Huy TúAkai HarumaAce LegonaNguyễn Thanh HằngRibi Nkok Ngoksoyeon_Tiểubàng giảiVõ Đông Anh TuấnPhương AnTrần Việt Linh

1: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó:MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

2: Ta có: ΔOAM vuông tại A

=>\(AO^2+AM^2=OM^2\)

=>\(AM^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

Xét ΔAMO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\)

=>\(MH\cdot MO=3R^2\)

3:

Xét ΔOAM vuông tại A có \(sinAMO=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{AMO}=30^0\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MO là phân giác của góc AMB

=>\(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{AMO}=2\cdot30^0=60^0\)

Xét ΔMAB có MA=MB và \(\widehat{AMB}=60^0\)

nên ΔMAB đều

4: Xét (O) có

\(\widehat{MAI}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AI

\(\widehat{IKA}\) là góc nội tiếp chắn cung AI

Do đó: \(\widehat{MAI}=\widehat{IKA}\)

Xét ΔMAI và ΔMKA có

\(\widehat{MAI}=\widehat{MKA}\)

\(\widehat{AMI}\) chung

Do đó: ΔMAI đồng dạng với ΔMKA

=>\(\dfrac{MA}{MK}=\dfrac{MI}{MA}\)

=>\(MA^2=MI\cdot MK\)

mà \(MA^2=MH\cdot MO\)

nên \(MI\cdot MK=MH\cdot MO\)

Ta có: \(\widehat{MAI}+\widehat{OAI}=\widehat{OAM}=90^0\)

\(\widehat{HAI}+\widehat{OIA}=90^0\)(ΔAHI vuông tại H)

mà \(\widehat{OAI}=\widehat{OIA}\)(ΔOAI cân tại O)

nên \(\widehat{MAI}=\widehat{HAI}\)

=>AI là phân giác của góc MAH